6. Упростить: (1+cos2L +sin2L) / (cosL + sin L)

Решение:

1. Для упрощения выражения воспользуемся тригонометрическими формулами.
2. В числителе вспомним формулы двойного угла: \( \cos 2L = 2\cos^2 L - 1 \) (или \( \cos 2L = 1 - 2\sin^2 L \) или \( \cos 2L = \cos^2 L - \sin^2 L \)) и \( \sin 2L = 2\sin L \cos L \).
3. Также вспомним формулу \( 1 + \cos 2L = 2\cos^2 L \).
4. Подставим \( 1 + \cos 2L = 2\cos^2 L \) в числитель:
5. \( 1 + \cos 2L + \sin 2L = 2\cos^2 L + 2\sin L \cos L \).
6. Вынесем общий множитель \( 2\cos L \) из числителя:
7. \( 2\cos L (\cos L + \sin L) \).
8. Теперь запишем всё выражение:
9. \( \frac{2\cos L (\cos L + \sin L)}{\cos L + \sin L} \).
10. При условии, что \( \cos L + \sin L \neq 0 \) (то есть \( L \neq -\frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \) — целое число), мы можем сократить \( (\cos L + \sin L) \).
11. Получаем: \( 2\cos L \).
12. (Примечание: Если бы мы использовали \( \cos 2L = \cos^2 L - \sin^2 L \), то числитель был бы \( 1 + \cos^2 L - \sin^2 L + 2\sin L \cos L \), что не даёт простого разложения.)
13. (Альтернативный вариант, если использовать \( \cos 2L = 1 - 2\sin^2 L \) и \( 1 + \cos 2L = 2\cos^2 L \), то тот же результат.)

Ответ: \( 2\cos L \).