4) Решить уравнение: $\dfrac{3}{1-4y^2}+\dfrac{4}{2y^2+y}=\dfrac{3}{4y^2+4y+1}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4) Решить уравнение: $\dfrac{3}{1-4y^2}+\dfrac{4}{2y^2+y}=\dfrac{3}{4y^2+4y+1}$.$ Фото задания

Accepted Answer

ОДЗ: $1-4y^2\ne0$, $2y^2+y\ne0$, $4y^2+4y+1\ne0$. Следовательно, $y\ne\dfrac12,-\dfrac12,0$.

Разложим знаменатели: $1-4y^2=(1-2y)(1+2y)$, $2y^2+y=y(2y+1)$, $4y^2+4y+1=(2y+1)^2$. Умножим уравнение на общий знаменатель $y(1-2y)(2y+1)^2$:

$3y(2y+1)+4(1-2y)(2y+1)=3y(1-2y)$.

Вынесем общий множитель $2y+1$ слева и перенесём правую часть:

$(2y+1)(3y+4-8y)=3y(1-2y)$,

$(2y+1)(4-5y)=3y(1-2y)$.

Раскроем скобки: $-10y^2+3y+4=3y-6y^2$, откуда $4y^2=4$, поэтому $y^2=1$ и $y=1$ или $y=-1$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $y=-1;\ 1$.

4) Решить уравнение: \(\dfrac{3}{1-4y^2}+\dfrac{4}{2y^2+y}=\dfrac{3}{4y^2+4y+1}\).