4. Решить уравнение х - 6 = √2x + 12

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[ (x - 6)^2 = (\sqrt{2x + 12})^2 \]

\[ x^2 - 12x + 36 = 2x + 12 \]

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 - 12x - 2x + 36 - 12 = 0 \]

\[ x^2 - 14x + 24 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 196 - 96 = 100 \]

Корни \( x_1 \) и \( x_2 \):

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{14 \pm 10}{2} \]

\( x_1 = \frac{14 + 10}{2} = \frac{24}{2} = 12 \)

\( x_2 = \frac{14 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

Теперь необходимо сделать проверку, подставив найденные значения \( x \) в исходное уравнение, так как при возведении в квадрат могли появиться посторонние корни.

Проверка для \( x_1 = 12 \):

\[ 12 - 6 = \sqrt{2 \cdot 12 + 12} \]

\[ 6 = \sqrt{24 + 12} \]

\[ 6 = \sqrt{36} \]

\[ 6 = 6 \]

Значение \( x_1 = 12 \) подходит.

Проверка для \( x_2 = 2 \):

\[ 2 - 6 = \sqrt{2 \cdot 2 + 12} \]

\[ -4 = \sqrt{4 + 12} \]

\[ -4 = \sqrt{16} \]

\[ -4 = 4 \]

Это равенство неверно, значит, \( x_2 = 2 \) — посторонний корень.

Ответ: 12