4. Решить уравнение х - 6 = √2x + 12

Решение:

Перенесём 6 в правую часть уравнения:

\( x = \sqrt{2x + 12} + 6 \)

Теперь возведём обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\( x^2 = (\sqrt{2x + 12} + 6)^2 \)

\( x^2 = (2x + 12) + 12\sqrt{2x + 12} + 36 \)

\( x^2 = 2x + 48 + 12\sqrt{2x + 12} \)

Перенесём все члены, кроме корня, в левую часть:

\( x^2 - 2x - 48 = 12\sqrt{2x + 12} \)

Далее, возведём обе части в квадрат ещё раз. Однако, такой путь будет слишком громоздким. Вернёмся к исходному уравнению и проведём проверку найденных корней. Сначала изолируем корень:

\( \sqrt{2x+12} = x - 6 \)

Для того, чтобы корень имел смысл, необходимо условие \( 2x+12 \ge 0 \), что даёт \( x \ge -6 \). Также, поскольку \( \sqrt{2x+12} \) неотрицателен, то правая часть \( x - 6 \) также должна быть неотрицательной, т.е. \( x - 6 \ge 0 \), что означает \( x \ge 6 \). Объединяя эти условия, получаем \( x \ge 6 \).

Возведём обе части уравнения \( \sqrt{2x+12} = x - 6 \) в квадрат:

\( 2x + 12 = (x - 6)^2 \)

\( 2x + 12 = x^2 - 12x + 36 \)

Перенесём все члены в правую часть:

\( x^2 - 12x + 36 - 2x - 12 = 0 \)

\( x^2 - 14x + 24 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

• \( D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 196 - 96 = 100 \)
• \( \sqrt{D} = 10 \)
• \( x_1 = \frac{14 + 10}{2} = \frac{24}{2} = 12 \)
• \( x_2 = \frac{14 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

Теперь проверим найденные корни, учитывая условие \( x \ge 6 \).

• Для \( x_1 = 12 \): \( 12 \ge 6 \). Подставим в исходное уравнение: \( 12 - 6 = \sqrt{2 \cdot 12 + 12} \) \(\implies\) \( 6 = \sqrt{24 + 12} \) \(\implies\) \( 6 = \sqrt{36} \) \(\implies\) \( 6 = 6 \). Верно.
• Для \( x_2 = 2 \): \( 2 < 6 \). Этот корень не удовлетворяет условию \( x \ge 6 \), поэтому он является посторонним.

Ответ: \( x = 12 \).