5. Решите уравнение 9ˣ - 8 ⋅ 3ˣ - 9 = 0

Решение:

Заметим, что \( 9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 \). Введём замену \( y = 3^x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - 8y - 9 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 \]

Корни \( y_1 \) и \( y_2 \):

\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 10}{2} \]

\( y_1 = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)

\( y_2 = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

Теперь вернёмся к замене \( y = 3^x \):

1. \( 3^x = 9 \)

Так как \( 9 = 3^2 \), то \( 3^x = 3^2 \). Следовательно, \( x = 2 \).

2. \( 3^x = -1 \)

Это уравнение не имеет решений, так как показательная функция \( 3^x \) всегда положительна (больше нуля).

Ответ: 2