4 Решить уравнение: sin²x - 4 sin x cos x + 3 cos²x = 0.

Решение:

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени. Разделим обе части уравнения на \( · \cos^2x \), предполагая, что \( · \cos x ≠ 0 \).

1. \( \frac{· \text{sin}^2x}{· \text{cos}^2x} - \frac{4 · \text{sin }x · \text{cos }x}{· \text{cos}^2x} + \frac{3 · \text{cos}^2x}{· \text{cos}^2x} = 0 \)
2. \( \text{tg}^2x - 4 \text{tg }x + 3 = 0 \)
3. Сделаем замену \( t = \text{tg }x \). Получим квадратное уравнение: \( t^2 - 4t + 3 = 0 \)
4. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4 · 1 · 3 = 16 - 12 = 4 \). \( √ D = 2 \).
5. Корни: \( t_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \) и \( t_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1 \).
6. Вернемся к замене:
• \( \text{tg }x = 3 → x = \text{arctg}(3) + πn \), где \( n ∈ ℤ \)
• \( \text{tg }x = 1 → x = \frac{π}{4} + πk \), где \( k ∈ ℤ \)
7. Проверим, что \( · \cos x ≠ 0 \) при этих решениях. Если \( · \text{tg }x = 3 \) или \( \text{tg }x = 1 \), то \( · \text{cos }x ≠ 0 \).

Ответ: \( x = \text{arctg}(3) + πn \) и \( x = \frac{π}{4} + πk \), где \( n, k ∈ ℤ \).