4. Решить уравнения 1) 10 cos²x + 3 cos x = 1;

Решение:

Данное уравнение является квадратным относительно \( \cos x \). Пусть \( y = \cos x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 10y^2 + 3y - 1 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

1. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-1) = 9 + 40 = 49 \).
2. Найдём корни: \( y_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 10} = \frac{-3 + 7}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} \) и \( y_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 10} = \frac{-3 - 7}{20} = \frac{-10}{20} = -\frac{1}{2} \).
3. Подставим обратно \( \cos x \):
• \( \cos x = \frac{1}{5} \). Решение: \( x = \pm \arccos \left( \frac{1}{5} \right) + 2 \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• \( \cos x = -\frac{1}{2} \). Решение: \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2 \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \pm \arccos \left( \frac{1}{5} \right) + 2 \pi k \), \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2 \pi n \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \).