4. Решить уравнения 2) 5 sin x + cos x = 5;

Решение:

Это однородное тригонометрическое уравнение. Разделим обе части уравнения на \( \cos x \), предполагая, что \( \cos x \neq 0 \).

\( 5 \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = \frac{5}{\cos x} \)

\( 5 \tan x + 1 = 5 \sec x \)

Возведём обе части в квадрат:

\[ (5 \tan x + 1)^2 = (5 \sec x)^2 \]

\[ 25 \tan^2 x + 10 \tan x + 1 = 25 \sec^2 x \]

Используем основное тригонометрическое тождество \( \sec^2 x = 1 + \tan^2 x \):

\[ 25 \tan^2 x + 10 \tan x + 1 = 25 (1 + \tan^2 x) \]

\[ 25 \tan^2 x + 10 \tan x + 1 = 25 + 25 \tan^2 x \]

\[ 10 \tan x = 24 \]

\[ \tan x = \frac{24}{10} = \frac{12}{5} \]

Если \( \tan x = \frac{12}{5} \), то \( \sin x = \pm \frac{12}{\sqrt{12^2+5^2}} = \pm \frac{12}{13} \) и \( \cos x = \pm \frac{5}{\sqrt{12^2+5^2}} = \pm \frac{5}{13} \).

Подставим в исходное уравнение \( 5 \sin x + \cos x = 5 \):

• Если \( \sin x = \frac{12}{13} \) и \( \cos x = \frac{5}{13} \): \( 5 \cdot \frac{12}{13} + \frac{5}{13} = \frac{60+5}{13} = \frac{65}{13} = 5 \). Это решение подходит.
• Если \( \sin x = -\frac{12}{13} \) и \( \cos x = -\frac{5}{13} \): \( 5 \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) + \left(-\frac{5}{13}\right) = \frac{-60-5}{13} = \frac{-65}{13} = -5 \). Это решение не подходит.

Таким образом, \( \tan x = \frac{12}{5} \) является решением.

\( x = \arctan \left( \frac{12}{5} \right) + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \arctan \left( \frac{12}{5} \right) + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).