4. Решить уравнения 3) sin⁴x + cos⁴x = sin²2x - 0,5.

Решение:

Преобразуем левую часть уравнения:

\[ \sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x \]

Так как \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), то:

\[ 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x \]

Используем формулу двойного угла для синуса: \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \), следовательно \( \sin^2 2x = 4 \sin^2 x \cos^2 x \).

Тогда \( 2 \sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2} \sin^2 2x \).

Левая часть равна \( 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x \).

Теперь подставим это в исходное уравнение:

\[ 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x = \sin^2 2x - 0.5 \]

Перенесём члены с \( \sin^2 2x \) в одну сторону, а числа — в другую:

\[ 1 + 0.5 = \sin^2 2x + \frac{1}{2} \sin^2 2x \]

\[ 1.5 = \frac{3}{2} \sin^2 2x \]

\[ \sin^2 2x = \frac{1.5}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}} = 1 \]

Отсюда следует, что \( \sin 2x = ± 1 \).

• Если \( \sin 2x = 1 \):

\[ 2x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi k \], где \( k \in \mathbb{Z} \).

\[ x = \frac{\pi}{4} + \pi k \], где \( k \in \mathbb{Z} \).

• Если \( \sin 2x = -1 \):

\[ 2x = -\frac{\pi}{2} + 2 \pi n \], где \( n \in \mathbb{Z} \).

\[ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \], где \( n \in \mathbb{Z} \).

Объединяя оба случая, получаем:

\[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2} \], где \( m \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2} \), где \( m \in \mathbb{Z} \).