4. Решить уравнения: 1) |x² + 3x| = 2(x + 1); 2) |x − 6| = |x² − 5x + 9|; 3) |2x + 8| − |x − 5| = 12.

\(|x^2+3x|=2(x+1)\). Правая часть неотрицательна, значит, \(x\ge-1\). На промежутке \([-1,0)\) выражение \(x^2+3x\) отрицательно, поэтому \(-x^2-3x=2x+2\), откуда \(x^2+5x+2=0\). Корни: \(x=\frac{-5\pm\sqrt{17}}2\); условию \(x\ge-1\) подходит только \(\frac{-5+\sqrt{17}}2\). При \(x\ge0\) модуль раскрывается без изменения: \(x^2+3x=2x+2\), то есть \((x-1)(x+2)=0\). Подходит только \(x=1\).

Ответ: \(x=\frac{-5+\sqrt{17}}2\) или \(x=1\).

\(|x-6|=|x^2-5x+9|\). Квадратный трёхчлен \(x^2-5x+9\) всегда положителен: его дискриминант равен \(25-36=-11<0\), а старший коэффициент положителен. Поэтому правая часть равна самому трёхчлену.

Если \(x<6\), то \(6-x=x^2-5x+9\), откуда \(x^2-4x+3=0\), или \((x-1)(x-3)=0\). Оба корня удовлетворяют условию \(x<6\). Если \(x\ge6\), получаем \(x-6=x^2-5x+9\), то есть \(x^2-6x+15=0\); дискриминант отрицателен, действительных корней нет.

Ответ: \(x=1;\ 3\).

\(|2x+8|-|x-5|=12\). Точки смены знака выражений под модулями: \(x=-4\) и \(x=5\).

При \(x<-4\): \(-2x-8-(5-x)=12\), откуда \(x=-25\), что не принадлежит этому промежутку.

При \(-4\le x<5\): \(2x+8-(5-x)=12\), откуда \(3x+3=12\) и \(x=3\); корень подходит.

При \(x\ge5\): \(2x+8-(x-5)=12\), откуда \(x=-1\), что не принадлежит этому промежутку.

Ответ: \(x=3\).