4). Решить уравнения двумя способами √x=x²

Решение:

Это уравнение содержит корень и степень, поэтому решать его будем, возводя обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня.

1. Первый способ:
   Возведём обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{x})^2 = (x^2)^2 \)
   Получаем: \( x = x^4 \)
   Перенесём все члены в одну сторону: \( x^4 - x = 0 \)
   Вынесем \( x \) за скобки: \( x(x^3 - 1) = 0 \)
   Это произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
   1) \( x = 0 \)
   2) \( x^3 - 1 = 0 \) \( \Rightarrow x^3 = 1 \) \( \Rightarrow x = 1 \)
   Проверим корни:
   Для \( x=0 \): \( \sqrt{0} = 0^2 \) \( \Rightarrow 0 = 0 \) (верно).
   Для \( x=1 \): \( \sqrt{1} = 1^2 \) \( \Rightarrow 1 = 1 \) (верно).
2. Второй способ:
   Можно заметить, что \( x=1 \) и \( x=0 \) являются решениями, подставив их в исходное уравнение.
   \( \sqrt{x} = x^2 \)
   Если \( x = 0 \): \( \sqrt{0} = 0^2 \) \( \Rightarrow 0 = 0 \) (верно).
   Если \( x = 1 \): \( \sqrt{1} = 1^2 \) \( \Rightarrow 1 = 1 \) (верно).

Ответ: x₁ = 0, x₂ = 1.