6). Решите любым способом x³ + 3x = 2

Решение:

Это кубическое уравнение. Для его решения попробуем найти рациональные корни. Сначала перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить уравнение вида \( P(x) = 0 \):

\( x^3 + 3x - 2 = 0 \)

1. Поиск рациональных корней:
   Согласно теореме о рациональных корнях, если у многочлена с целыми коэффициентами есть рациональный корень \( p/q \) (где \( p \) — делитель свободного члена, а \( q \) — делитель старшего коэффициента), то \( p \) является делителем \( -2 \), а \( q \) — делителем \( 1 \).
   Делители \( -2 \): \( ±1, ±2 \).
   Делители \( 1 \): \( ±1 \).
   Возможные рациональные корни: \( ±1, ±2 \).
2. Проверка возможных корней:
   Подставим \( x = 1 \): \( 1^3 + 3(1) - 2 = 1 + 3 - 2 = 2 ≠ 0 \).
   Подставим \( x = -1 \): \( (-1)^3 + 3(-1) - 2 = -1 - 3 - 2 = -6 ≠ 0 \).
   Подставим \( x = 2 \): \( 2^3 + 3(2) - 2 = 8 + 6 - 2 = 12 ≠ 0 \).
   Подставим \( x = -2 \): \( (-2)^3 + 3(-2) - 2 = -8 - 6 - 2 = -16 ≠ 0 \>.
3. Анализ функции:
   Рассмотрим функцию \( f(x) = x^3 + 3x - 2 \).
   Найдем её производную: \( f'(x) = 3x^2 + 3 \).
   Поскольку \( x^2 ≥ 0 \) для любого действительного \( x \), то \( 3x^2 ≥ 0 \), следовательно \( f'(x) = 3x^2 + 3 ≥ 3 \).
   Так как производная \( f'(x) \) всегда положительна, функция \( f(x) \) является строго возрастающей. Это означает, что уравнение \( f(x) = 0 \) имеет ровно один действительный корень.
4. Численный метод (примерный поиск):
   Так как мы не нашли рациональных корней, то действительный корень является иррациональным. Можно найти его приближённое значение.
   Мы знаем, что \( f(0) = -2 \) и \( f(1) = 2 \). Поскольку функция возрастает, корень находится между 0 и 1.

Примечание: Для точного нахождения иррациональных корней кубических уравнений используются специальные формулы (например, формула Кардано), либо численными методами. В рамках школьной программы, если рациональные корни не находятся, обычно предполагается, что решение не требуется находить точно, или используется графический метод.

Ответ: Уравнение имеет один действительный иррациональный корень, который находится между 0 и 1. Точное значение корня: \( x = ∛(1 + √2) + ∛(1 - √2) \)