4. Решите дробное рациональное уравнение: 2+8/(x-3) = 4/x

Решение:

1. Перенесем все члены уравнения в левую часть:

   \[ 2 + \frac{8}{x-3} - \frac{4}{x} = 0 \]

2. Приведем к общему знаменателю $$x(x-3)$$:

   \[ \frac{2x(x-3)}{x(x-3)} + \frac{8x}{x(x-3)} - \frac{4(x-3)}{x(x-3)} = 0 \]

3. Объединим числители:

   \[ \frac{2x^2 - 6x + 8x - 4x + 12}{x(x-3)} = 0 \]

4. Упростим числитель:

   \[ \frac{2x^2 - 2x + 12}{x(x-3)} = 0 \]

5. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
6. Найдем корни числителя:

$$2x^2 - 2x + 12 = 0$$

Разделим на 2: $$x^2 - x + 6 = 0$$

Дискриминант $$D = (-1)^2 - 4(1)(6) = 1 - 24 = -23$$.

Так как дискриминант отрицательный, у этого квадратного уравнения нет действительных корней.

7. Проверим знаменатель:

$$x(x-3) \neq 0$$

Следовательно, $$x \neq 0$$ и $$x \neq 3$$.

Ответ: нет корней