5. Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость одного на 10 км/ч больше скорости второго, поэтому он приехал на 1 час раньше. Найти скорость первого и второго автомобилей, если расстояние между городами 50 к

5. Решение задачи про автомобили:

Обозначим:

• v₁ — скорость первого автомобиля (км/ч)
• v₂ — скорость второго автомобиля (км/ч)
• t₁ — время в пути первого автомобиля (ч)
• t₂ — время в пути второго автомобиля (ч)
• S — расстояние между городами (км)

Из условия задачи:

• S = 50 км
• v₁ = v₂ + 10
• t₂ = t₁ + 1

Воспользуемся формулой S = v * t, откуда t = S / v.

Запишем время для каждого автомобиля:

• t₁ = S / v₁ = 50 / v₁
• t₂ = S / v₂ = 50 / v₂

Подставим выражения для v₁ и t₂ в уравнение t₂ = t₁ + 1:

50 / v₂ = 50 / v₁ + 1

Теперь подставим v₁ = v₂ + 10:

50 / v₂ = 50 / (v₂ + 10) + 1

Приведем к общему знаменателю v₂(v₂ + 10):

50 * (v₂ + 10) / (v₂(v₂ + 10)) = 50 * v₂ / (v₂(v₂ + 10)) + 1 * v₂(v₂ + 10) / (v₂(v₂ + 10))

Умножим числители на общий знаменатель:

50(v₂ + 10) = 50v₂ + v₂(v₂ + 10)

Раскроем скобки:

50v₂ + 500 = 50v₂ + v₂² + 10v₂

Сократим 50v₂ с обеих сторон:

500 = v₂² + 10v₂

Перенесем все в левую часть:

v₂² + 10v₂ - 500 = 0

Решим квадратное уравнение для v₂:

D = b² - 4ac = 10² - 4 * 1 * (-500) = 100 + 2000 = 2100

√D = √2100 = √(100 * 21) = 10√21

Найдем корни для v₂:

v₂ = (-10 ± 10√21) / 2 = -5 ± 5√21

Так как скорость не может быть отрицательной, выберем положительный корень:

v₂ = -5 + 5√21 ≈ -5 + 5 * 4.58 = -5 + 22.9 = 17.9 км/ч

Теперь найдем скорость первого автомобиля:

v₁ = v₂ + 10 = (-5 + 5√21) + 10 = 5 + 5√21 км/ч

v₁ ≈ 17.9 + 10 = 27.9 км/ч

Проверка:

t₁ = 50 / (5 + 5√21) = 10 / (1 + √21) ≈ 50 / 27.9 ≈ 1.79 ч

t₂ = 50 / (-5 + 5√21) = 10 / (-1 + √21) ≈ 50 / 17.9 ≈ 2.79 ч

t₂ - t₁ ≈ 2.79 - 1.79 = 1 ч. Расстояние между городами 50 км.

Ответ: Скорость первого автомобиля ≈ 27.9 км/ч, скорость второго автомобиля ≈ 17.9 км/ч.