4. Решите неравенства: a) log_0,5 (2x + 3) < log_0,5 (x + 1);

Решение:

1. Найдем ОДЗ: \( 2x + 3 > 0 \) и \( x + 1 > 0 \).
2. Из \( 2x + 3 > 0 \) следует \( 2x > -3 \), то есть \( x > -1.5 \).
3. Из \( x + 1 > 0 \) следует \( x > -1 \).
4. Объединяя условия, получаем \( x > -1 \).
5. Так как основание логарифма \( 0.5 < 1 \), при раскрытии логарифма знак неравенства меняется на противоположный: \( 2x + 3 > x + 1 \).
6. \( 2x - x > 1 - 3 \).
7. \( x > -2 \).
8. Учитывая ОДЗ \( x > -1 \), получаем, что решение неравенства \( x > -1 \).

Ответ: \( x > -1 \).