4) Решите систему: \(\begin{cases}x^3+xy^2-x^2y-y^3=5,\\ y^3+xy^2+x^2y+x^3=15.\end{cases}\)

Разложим левые части на множители:

\(x^3+xy^2-x^2y-y^3=(x-y)(x^2+y^2)\),

\(y^3+xy^2+x^2y+x^3=(x+y)(x^2+y^2)\).

Поскольку \(x^2+y^2\ne0\) (иначе левая часть первого уравнения была бы равна нулю, а она равна 5), разделим второе равенство на первое. Получаем \((x+y)/(x-y)=15/5=3\), следовательно, \(x+y=3(x-y)\).

Обозначим \(b=x-y\). Тогда \(x+y=3b\), а \(x^2+y^2=((x+y)^2+(x-y)^2)/2=5b^2\). Первое уравнение даёт \(5b^3=5\), поэтому \(b=1\). Значит, \(x-y=1\) и \(x+y=3\), откуда \(x=2\), \(y=1\).

Ответ: \((x;y)=(2;1)\).