4. Решите систему неравенств: { x²-2x-48≥0 (-7(x-3)> -3x + 1

Решение:

Решим первое неравенство системы: \( x^2 - 2x - 48 ≥ 0 \).

Найдем корни уравнения \( x^2 - 2x - 48 = 0 \).

\( D = (-2)^2 - 4 · 1 · (-48) = 4 + 192 = 196 \)

\( x_1 = \frac{2 + \sqrt{196}}{2} = \frac{2 + 14}{2} = 8 \)

\( x_2 = \frac{2 - 14}{2} = -6 \)

Так как парабола \( y = x^2 - 2x - 48 \) направлена ветвями вверх, неравенство \( x^2 - 2x - 48 ≥ 0 \) выполняется при \( x ≤ -6 \) или \( x ≥ 8 \).

Решим второе неравенство системы: \( -7(x - 3) > -3x + 1 \).

Раскроем скобки: \( -7x + 21 > -3x + 1 \).

Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а числа — в другую:

\( -7x + 3x > 1 - 21 \)

\( -4x > -20 \)

Разделим обе части на \( -4 \), изменив знак неравенства:

\( x < 5 \)

Теперь объединим решения обоих неравенств:

\( x ≤ -6 \) или \( x ≥ 8 \) И \( x < 5 \).

Пересечением этих решений является \( x ≤ -6 \).

Ответ: \( (-∞; -6] \)