6. Решите систему неравенств: { (x²-8x+25 > 0 x²-49 ≤ 0

Решение:

Рассмотрим первое неравенство системы: \( x^2 - 8x + 25 > 0 \).

Найдем дискриминант квадратного трехчлена \( x^2 - 8x + 25 \):

\( D = (-8)^2 - 4 · 1 · 25 = 64 - 100 = -36 \).

Так как дискриминант отрицательный \( (D < 0) \) и коэффициент при \( x^2 \) положительный (\( a = 1 > 0 \)), парабола \( y = x^2 - 8x + 25 \) всегда находится выше оси абсцисс. Это означает, что неравенство \( x^2 - 8x + 25 > 0 \) верно для всех действительных значений \( x \).

Теперь рассмотрим второе неравенство системы: \( x^2 - 49 ≤ 0 \).

Найдем корни уравнения \( x^2 - 49 = 0 \).

\( x^2 = 49 \)

\( x = ± 7 \).

Так как парабола \( y = x^2 - 49 \) направлена ветвями вверх, неравенство \( x^2 - 49 ≤ 0 \) выполняется между корнями, включая сами корни.

Следовательно, \( -7 ≤ x ≤ 7 \).

Поскольку первое неравенство выполняется для всех \( x \), решение системы определяется вторым неравенством.

Ответ: \( [-7; 7] \)