5. Решите неравенство: \(\(\frac{x^2(5-x)}{x^2-18x+81}\) \(\le\) 0

Решение:

Для решения неравенства \(\frac{x^2(5-x)}{x^2-18x+81} \le 0 \), проанализируем числитель и знаменатель.

Числитель: \( x^2(5-x) \).

\( x^2 ≥ 0 \) для всех \( x \).

\( 5-x = 0 \) при \( x = 5 \).

Знаменатель: \( x^2 - 18x + 81 \).

Это полный квадрат: \( (x-9)^2 \).

\( (x-9)^2 > 0 \) для всех \( x ≠ 9 \).

Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x ≠ 9 \).

Теперь рассмотрим неравенство:

\(\frac{x^2(5-x)}{(x-9)^2} \le 0 \).

Так как \( x^2 ≥ 0 \) и \( (x-9)^2 > 0 \) (при \( x ≠ 9 \)), знак всего выражения определяется знаком \( 5-x \).

Для выполнения неравенства \(\frac{x^2(5-x)}{(x-9)^2} \le 0 \), нам нужно, чтобы \( 5-x ≤ 0 \) (поскольку \( x^2 \) и \( (x-9)^2 \) неотрицательны).

\( 5-x ≤ 0 \) означает \( 5 ≤ x \).

Учитывая, что \( x ≠ 9 \), получаем, что \( x ≥ 5 \) и \( x ≠ 9 \).

Кроме того, если \( x=0 \), то числитель равен 0, и неравенство выполняется. \( x=0 \) удовлетворяет \( x ≤ 5 \).

Итак, решениями являются \( x=0 \) и \( 5 ≤ x < 9 \) или \( x > 9 \).

Объединяя эти условия:

\( x = 0 \) или \( x ≥ 5 \) и \( x ≠ 9 \).

В виде интервалов это \( \{0\} ∪ [5; 9) ∪ (9; +∞) \).

Ответ: \( \{0\} ∪ [5; 9) ∪ (9; +∞) \)