4. Решите систему уравнений \[\begin{cases} \frac{2x+7y}{4} - \frac{3x-2y}{3} = 2 \\ \frac{3x+2y}{2} - \frac{4x-6y}{7} = \frac{39}{14} \end{cases}\right.

Решение:

Приведем оба уравнения к более простому виду, избавившись от знаменателей.

1. Первое уравнение:
• \[ \frac{2x+7y}{4} - \frac{3x-2y}{3} = 2 \]
• Общий знаменатель для 4 и 3 равен 12. Умножим все члены уравнения на 12:
• \[ 12 \cdot \frac{2x+7y}{4} - 12 \cdot \frac{3x-2y}{3} = 12 \cdot 2 \]
• \[ 3(2x+7y) - 4(3x-2y) = 24 \]
• \[ 6x + 21y - 12x + 8y = 24 \]
• \[ -6x + 29y = 24 \]
2. Второе уравнение:
• \[ \frac{3x+2y}{2} - \frac{4x-6y}{7} = \frac{39}{14} \]
• Общий знаменатель для 2, 7 и 14 равен 14. Умножим все члены уравнения на 14:
• \[ 14 \cdot \frac{3x+2y}{2} - 14 \cdot \frac{4x-6y}{7} = 14 \cdot \frac{39}{14} \]
• \[ 7(3x+2y) - 2(4x-6y) = 39 \]
• \[ 21x + 14y - 8x + 12y = 39 \]
• \[ 13x + 26y = 39 \]
• Разделим на 13 для упрощения:
• \[ x + 2y = 3 \]
• Выразим x из этого уравнения:
• \[ x = 3 - 2y \]
3. Подставим выражение для x во второе упрощенное уравнение:
• \[ -6(3 - 2y) + 29y = 24 \]
• \[ -18 + 12y + 29y = 24 \]
• \[ 41y = 24 + 18 \]
• \[ 41y = 42 \]
• \[ y = \frac{42}{41} \]
4. Найдем x, подставив значение y:
• \[ x = 3 - 2y \]
• \[ x = 3 - 2 \cdot \frac{42}{41} \]
• \[ x = 3 - \frac{84}{41} \]
• \[ x = \frac{3 \cdot 41}{41} - \frac{84}{41} \]
• \[ x = \frac{123 - 84}{41} \]
• \[ x = \frac{39}{41} \]

Ответ: x = 39/41, y = 42/41