4. Решите треугольник: а) a = 9; b = 8; ∠B = 56°; б) ∠C = 130°; ∠B = 25°; c = 10.

Обозначения стандартные: сторона \(a\) лежит напротив угла \(A\), сторона \(b\) — напротив \(B\), сторона \(c\) — напротив \(C\).

а) По теореме синусов \(\sin A=\frac{a\sin B}{b}=\frac{9\sin56^\circ}{8}\approx0.9318\). Это даёт два возможных угла: \(A_1\approx68.7^\circ\) и \(A_2\approx111.3^\circ\). Оба допустимы, так как вместе с \(B=56^\circ\) дают сумму меньше 180°.

Для первого треугольника: \(C_1=180^\circ-56^\circ-68.7^\circ\approx55.3^\circ\), \(c_1=\frac{8\sin55.3^\circ}{\sin56^\circ}\approx7.95\).

Для второго треугольника: \(C_2=180^\circ-56^\circ-111.3^\circ\approx12.7^\circ\), \(c_2=\frac{8\sin12.7^\circ}{\sin56^\circ}\approx2.00\).

а) Возможны два треугольника: \(A\approx68.7^\circ, C\approx55.3^\circ, c\approx7.95\); или \(A\approx111.3^\circ, C\approx12.7^\circ, c\approx2.00\).

б) \(A=180^\circ-130^\circ-25^\circ=25^\circ\). Углы \(A\) и \(B\) равны, поэтому противоположные им стороны равны: \(a=b\). По теореме синусов:

\(a=b=\frac{10\sin25^\circ}{\sin130^\circ}\approx5.53\).

б) \(A=25^\circ\), \(a=b\approx5.53\).