4. Решите уравнение 2 sin²x - 3sinx = 2 1) (-1)+ πk, k€ Ζ 2) (-1)+1+2k, k ∈ Z 6 6 3) (-1)+1 )*+1+nk, k€ Z 4) (-1)* arcsin2 + πk, k € Z (x+2); (-1)+1+πk, k CZ 6 6

Решение:

Приведем уравнение к квадратному относительно \( \sin x \).

\[ 2 \sin^2 x - 3 \sin x - 2 = 0 \]

Пусть \( t = \sin x \). Тогда \( 2t^2 - 3t - 2 = 0 \).

Найдем дискриминант: \( D = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 \).

Найдем корни \( t \):

\[ t_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2 \]\[ t_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5 \]

Так как \( t = \sin x \), то \( \sin x = 2 \) не имеет решений, так как \( \sin x \) может принимать значения только от -1 до 1.

Рассмотрим \( \sin x = -0.5 \). Частными решениями являются \( x = -\frac{\pi}{6} \) и \( x = \frac{7\pi}{6} \).

Общее решение: \( x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \) или \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \) (некорректно), или \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \) и \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \).

Среди предложенных вариантов, вариант 3 наиболее близок к общему решению, хотя и записан нестандартно. Форма \( (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n \) объединяет оба семейства решений. При \( n=0 \), \( x = -\frac{\pi}{6} \). При \( n=1 \), \( x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6} \) (это не одно из наших частных решений).

Переформулируем вариант 3: \( x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k \). При \( k=0 \), \( x = \frac{\pi}{6} \) (неверно). При \( k=1 \), \( x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6} \).

Верное общее решение для \( \sin x = -0.5 \):

\[ x = (-1)^n \left( -\frac{\pi}{6} \right) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: (-1)*+1+nk, k€ Z