№ 4. Решите уравнение 6(x² − 3x)² + (x² − 3x) − 1 = 0.

Сделаем замену: \(y=x^2-3x\). Тогда получаем квадратное уравнение \(6y^2+y-1=0\).

Разложим на множители: \((3y-1)(2y+1)=0\). Поэтому \(y=\frac13\) или \(y=-\frac12\).

1) При \(y=\frac13\): \(x^2-3x=\frac13\), то есть \(3x^2-9x-1=0\). Отсюда \(x=\frac{9\pm\sqrt{93}}{6}\).

2) При \(y=-\frac12\): \(x^2-3x=-\frac12\), то есть \(2x^2-6x+1=0\). Отсюда \(x=\frac{3\pm\sqrt7}{2}\).

Ответ: \(x=\frac{9+\sqrt{93}}{6},\ \frac{9-\sqrt{93}}{6},\ \frac{3+\sqrt7}{2},\ \frac{3-\sqrt7}{2}\).