4. Решите уравнение: a) (1/81)^(0.5x-1) = 9; б) log7(4x + 5) = 2; г) 2sin x - 1 = 0; в) \(\sqrt{8 - x^2} = \sqrt{-7x}\).

Решение:

а) \( \left(\frac{1}{81}\right)^{0.5x-1} = 9 \)
\( \left(3^{-4}\right)^{0.5x-1} = 3^2 \)
\( 3^{-4(0.5x-1)} = 3^2 \)
\( -4(0.5x-1) = 2 \)
\( -2x + 4 = 2 \)
\( -2x = -2 \)
\( x = 1 \)

б) \( \log_7(4x + 5) = 2 \)
\( 4x + 5 = 7^2 \)
\( 4x + 5 = 49 \)
\( 4x = 44 \)
\( x = 11 \)
Проверка ОДЗ: \( 4(11) + 5 = 49 > 0 \). Решение подходит.

в) \( \sqrt{8 - x^2} = \sqrt{-7x} \)
Возведём обе части в квадрат:

\( 8 - x^2 = -7x \)
\( x^2 - 7x - 8 = 0 \)
По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 7 \), \( x_1 x_2 = -8 \).
Корни: \( x_1 = 8 \), \( x_2 = -1 \).

Проверка ОДЗ:

Для \( x = 8 \): \( \sqrt{8 - 8^2} = \sqrt{8 - 64} = \sqrt{-56} \) (не определён действительный корень). \( \sqrt{-7 \cdot 8} = \sqrt{-56} \) (не определён действительный корень). \( x = 8 \) не подходит.

Для \( x = -1 \): \( \sqrt{8 - (-1)^2} = \sqrt{8 - 1} = \sqrt{7} \). \( \sqrt{-7 \cdot (-1)} = \sqrt{7} \). Решение подходит.

г) \( 2\sin x - 1 = 0 \)
\( 2\sin x = 1 \)
\( \sin x = \frac{1}{2} \)
\( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Ответ: а) 1; б) 11; в) -1; г) \( \frac{\pi}{6} + 2\pi k \), \( \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \).