5. Решите неравенство: a) log3 (3 - x) > log3 (12 – 3x); б) (1/6)^(x-1) + (1/6)^(x+1) <= 37; в) (x+1)(x-4) / (x^2-x-12) > 0.

Решение:

а) \( \log_3 (3 - x) > \log_3 (12 - 3x) \)

ОДЗ: \( 3 - x > 0 \) ⇒ \( x < 3 \) и \( 12 - 3x > 0 \) ⇒ \( 3x < 12 \) ⇒ \( x < 4 \). Совмещая, получаем \( x < 3 \).

Так как основание логарифма \( 3 > 1 \), неравенство сводится к:

\( 3 - x > 12 - 3x \)
\( 3x - x > 12 - 3 \)
\( 2x > 9 \)
\( x > 4.5 \)

Учитывая ОДЗ \( x < 3 \), решений нет.

б) \( \left(\frac{1}{6}\right)^{x-1} + \left(\frac{1}{6}\right)^{x+1} \le 37 \)

Пусть \( y = \left(\frac{1}{6}\right)^x \).

\( \frac{1}{6^x} \cdot 6 + \frac{1}{6^x} \cdot \frac{1}{6} \le 37 \)
\( 6y + \frac{y}{6} \le 37 \)
\( \frac{36y + y}{6} \le 37 \)
\( \frac{37y}{6} \le 37 \)
\( y \le 6 \)

Подставляем обратно \( y = \left(\frac{1}{6}\right)^x \):

\( \left(\frac{1}{6}\right)^x \le 6 \)
\( 6^{-x} \le 6^1 \)

Так как основание \( 6 > 1 \), показатели степени сравниваем в том же направлении:

\( -x \le 1 \)
\( x \ge -1 \)

в) \( \frac{(x+1)(x-4)}{x^2 - x - 12} > 0 \)

Разложим знаменатель на множители:

\( x^2 - x - 12 = (x-4)(x+3) \)

Неравенство принимает вид:

\( \frac{(x+1)(x-4)}{(x-4)(x+3)} > 0 \)

Сокращаем \( (x-4) \) при условии \( x
e 4 \):

\( \frac{x+1}{x+3} > 0 \)

Методом интервалов:

Числитель обращается в ноль при \( x = -1 \).

Знаменатель обращается в ноль при \( x = -3 \).

Расставляем знаки на интервалах:

(-∞; -3): +
(-3; -1): -
(-1; ∞): +

Нам нужно, где больше нуля. При этом \( x
e 4 \).

Решение: \( x \in (-\infty; -3) \cup (-1; 4) \cup (4; \infty) \).

Ответ: а) решений нет; б) \( x \ge -1 \); в) \( x \in (-\infty; -3) \cup (-1; 4) \cup (4; \infty) \).