4. Решите уравнение: а) 10y/(9y² − 4) + (y − 5)/(3y + 2) = (y − 8)/(2 − 3y); б) (x² + 5x + 6)(x² + 5x + 4) = 840.

а) Область допустимых значений: \(y\ne\frac23\) и \(y\ne-\frac23\).

Учитывая \(9y^2-4=(3y-2)(3y+2)\) и \(2-3y=-(3y-2)\), умножим уравнение на \((3y-2)(3y+2)\):

\(10y+(y-5)(3y-2)=-(y-8)(3y+2)\).

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\(3y^2-7y+10=-3y^2+22y+16\),
\(6y^2-29y-6=0\).

По формуле корней квадратного уравнения:

\(y=\frac{29\pm\sqrt{697}}{12}\).

Эти значения не нарушают ОДЗ.

б) Обозначим \(t=x^2+5x\). Тогда

\((t+6)(t+4)=840\),
\(t^2+10t-816=0\),
\((t-24)(t+34)=0\).

Если \(t=24\), то \(x^2+5x-24=0\), откуда \((x+8)(x-3)=0\) и \(x=-8\) или \(x=3\).

Если \(t=-34\), то \(x^2+5x+34=0\). Дискриминант равен \(25-136=-111<0\), поэтому действительных корней нет.

Ответ: а) \(y=\frac{29-\sqrt{697}}{12}\) или \(y=\frac{29+\sqrt{697}}{12}\); б) −8; 3.