4. Решите уравнение \( (a^2 – 9)x = a + 3 \).

Задание 4. Решение уравнения с параметром

Дано: уравнение \( (a^2 – 9)x = a + 3 \).

Найти: решение уравнения относительно \( x \) в зависимости от значения параметра \( a \).

Решение:

Данное уравнение является линейным уравнением с параметром \( a \). Чтобы найти \( x \), нам нужно разделить обе части уравнения на коэффициент при \( x \), то есть на \( (a^2 - 9) \). Однако, перед этим необходимо проанализировать возможные значения этого коэффициента.

1. Случай 1: Коэффициент при \( x \) не равен нулю.
   \( a^2 - 9 ≠ 0 \)
   \( a^2 ≠ 9 \)
   \( a ≠ 3 \) и \( a ≠ -3 \).
   В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на \( (a^2 - 9) \):
   \[ x = \frac{a + 3}{a^2 - 9} \]
   Теперь упростим выражение, разложив знаменатель на множители (разность квадратов): \( a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3) \).
   \[ x = \frac{a + 3}{(a - 3)(a + 3)} \]
   Если \( a ≠ -3 \) (что уже учтено в условии случая), то \( (a + 3) \) можно сократить:
   \[ x = \frac{1}{a - 3} \]
2. Случай 2: Коэффициент при \( x \) равен нулю.
   \( a^2 - 9 = 0 \)
   \( a^2 = 9 \)
   \( a = 3 \) или \( a = -3 \).

• Подслучай 2.1: \( a = 3 \)
  Подставим \( a = 3 \) в исходное уравнение:
  \[ (3^2 - 9)x = 3 + 3 \]
  \[ (9 - 9)x = 6 \]
  \[ 0 · x = 6 \]
  \[ 0 = 6 \]
  Это равенство неверно, следовательно, при \( a = 3 \) уравнение не имеет решений.
• Подслучай 2.2: \( a = -3 \)
  Подставим \( a = -3 \) в исходное уравнение:
  \[ ((-3)^2 - 9)x = -3 + 3 \]
  \[ (9 - 9)x = 0 \]
  \[ 0 · x = 0 \]
  \[ 0 = 0 \]
  Это равенство верно при любом значении \( x \). Следовательно, при \( a = -3 \) уравнение имеет бесконечно много решений (любое действительное число является решением).

Ответ:

• Если \( a ≠ 3 \) и \( a ≠ -3 \), то \( x = \frac{1}{a - 3} \).
• Если \( a = 3 \), то решений нет.
• Если \( a = -3 \), то \( x — любое действительное число \).