4. Решите уравнение: а) |4x−9|=13; б) |11x+2|=31; в) |x−2|+|x−8|=14; г) |x+8|+|x−6|=14.

а) Рассматриваем два случая: \(4x-9=13\) или \(4x-9=-13\). Получаем \(x=\frac{11}{2}\) или \(x=-1\).

б) \(11x+2=31\) или \(11x+2=-31\). Отсюда \(x=\frac{29}{11}\) или \(x=-3\).

в) Если \(2\le x\le8\), сумма расстояний до 2 и 8 равна 6, поэтому решений там нет. Снаружи отрезка сумма равна 14: слева от 2 получаем \(x=-2\), справа от 8 — \(x=12\).

г) Между числами −8 и 6 сумма расстояний до них равна расстоянию между ними: \(6-(-8)=14\). Вне этого отрезка сумма больше 14.

Ответ: а) \(x=-1,\frac{11}{2}\); б) \(x=-3,\frac{29}{11}\); в) \(x=-2,12\); г) \(x\in[-8;6]\).