4. Решите уравнение: а) (4y + 3)/(5y² − y) + (y − 2)/(25y² − 1) = 4/(5y + 1); б) (x² + 4x + 2)(x² + 4x − 8) = 189.

а) Область допустимых значений: \(y\ne0\), \(y\ne\frac15\), \(y\ne-\frac15\). Разложим знаменатели на множители: \(5y^2-y=y(5y-1)\), \(25y^2-1=(5y-1)(5y+1)\).

Умножим уравнение на общий знаменатель \(y(5y-1)(5y+1)\):

\((4y+3)(5y+1)+y(y-2)=4y(5y-1)\).

Раскроем скобки и перенесём всё в левую часть:

\(21y^2+17y+3=20y^2-4y\),

\(y^2+21y+3=0\).

По формуле корней квадратного уравнения:

\(y=\frac{-21\pm\sqrt{21^2-4\cdot1\cdot3}}{2}=\frac{-21\pm\sqrt{429}}{2}\).

Эти значения не нарушают ОДЗ.

Ответ: \(y=\frac{-21-\sqrt{429}}2\) или \(y=\frac{-21+\sqrt{429}}2\).

б) Обозначим \(u=x^2+4x\). Тогда:

\((u+2)(u-8)=189\),

\(u^2-6u-16=189\), откуда \(u^2-6u-205=0\).

Решаем квадратное уравнение: \(u=\frac{6\pm\sqrt{36+820}}2=3\pm\sqrt{214}\).

При \(u=3+\sqrt{214}\) получаем \(x^2+4x=3+\sqrt{214}\), то есть \((x+2)^2=7+\sqrt{214}\). Отсюда \(x=-2\pm\sqrt{7+\sqrt{214}}\).

При \(u=3-\sqrt{214}\) уравнение для x не имеет действительных корней, поскольку \((x+2)^2=7-\sqrt{214}<0\).

Ответ: \(x=-2-\sqrt{7+\sqrt{214}}\) или \(x=-2+\sqrt{7+\sqrt{214}}\).