4. Решите уравнение (а2 - 9)х = a + 3.

Задание 4. Решение уравнения с параметром

Дано: уравнение \( (a^2 - 9)x = a + 3 \).

Найти: решение уравнения (значение \( x \)) в зависимости от параметра \( a \).

Решение:

Сначала разложим выражение в скобках \( a^2 - 9 \) как разность квадратов: \( a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3) \).

Теперь уравнение имеет вид: \( (a - 3)(a + 3)x = a + 3 \).

Рассмотрим три случая:

1. Случай 1: \( a + 3 \neq 0 \) (то есть \( a \neq -3 \)).

В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на \( a + 3 \):

\( (a - 3)(a + 3)x = a + 3 \)

\( x = \frac{a + 3}{(a - 3)(a + 3)} \)

\( x = \frac{1}{a - 3} \)

Этот случай также делится на два подслучая, в зависимости от того, равен ли \( a-3 \) нулю:

• Если \( a \neq 3 \) и \( a \neq -3 \), то \( x = \frac{1}{a - 3} \).
• Если \( a = 3 \) (но \( a \neq -3 \)), то уравнение примет вид: \( (3^2 - 9)x = 3 + 3 \) → \( 0 · x = 6 \). Это уравнение не имеет решений, так как \( 0 \) не может равняться \( 6 \).

2. Случай 2: \( a + 3 = 0 \) (то есть \( a = -3 \)).

Подставим \( a = -3 \) в исходное уравнение:

\( ((-3)^2 - 9)x = -3 + 3 \)

\( (9 - 9)x = 0 \)

\( 0 · x = 0 \)

Это уравнение верно для любого значения \( x \), то есть имеет бесконечно много решений.

Итоговые ответы:

• Если \( a = 3 \), то решений нет.
• Если \( a = -3 \), то \( x \) — любое действительное число (бесконечно много решений).
• Если \( a \neq 3 \) и \( a \neq -3 \), то \( x = \frac{1}{a - 3} \).