4. Решите уравнение: log₂(5x + 4) = log₂(x + 5)

Решение:

Для решения уравнения \( \log_2(5x + 4) = \log_2(x + 5) \) необходимо:

1. Приравнять аргументы логарифмов, так как основания логарифмов равны.
2. Учесть условия существования логарифмов: аргументы должны быть положительными.

1. Уравнение аргументов:

\[ 5x + 4 = x + 5 \]

Перенесем члены с \( x \) в одну сторону, а числовые значения — в другую:

\[ 5x - x = 5 - 4 \]

\[ 4x = 1 \]

\[ x = \frac{1}{4} \]

2. Проверка условий существования логарифмов:

Условие 1: \( 5x + 4 > 0 \)

\[ 5 \cdot \frac{1}{4} + 4 = \frac{5}{4} + 4 = \frac{5 + 16}{4} = \frac{21}{4} \] \( \frac{21}{4} > 0 \). Условие выполняется.

Условие 2: \( x + 5 > 0 \)

\[ \frac{1}{4} + 5 = \frac{1 + 20}{4} = \frac{21}{4} \] \( \frac{21}{4} > 0 \). Условие выполняется.

Так как оба условия выполнены, найденный корень является верным.

Ответ: x = 1/4.