4. Решите уравнения: а) (3y + 2)/(4y² + y) + (y − 3)/(16y² − 1) = 3/(4y − 1); б) (x² + 3x + 1)(x² + 3x − 9) = 171.

а) Область допустимых значений: \(y\ne0\), \(y\ne\frac14\), \(y\ne-\frac14\), поскольку знаменатели равны \(y(4y+1)\), \((4y-1)(4y+1)\) и \(4y-1\).

Умножим уравнение на общий знаменатель \(y(4y-1)(4y+1)\):

\((3y+2)(4y-1)+y(y-3)=3y(4y+1)\).

Раскрываем скобки и упрощаем: \(13y^2+2y-2=12y^2+3y\), значит \(y^2-y-2=0\).

\((y-2)(y+1)=0\), откуда \(y=2\) или \(y=-1\). Оба значения входят в ОДЗ.

б) Обозначим \(t=x^2+3x\). Тогда

\((t+1)(t-9)=171\),

\(t^2-8t-180=0\),

\((t-18)(t+10)=0\).

Если \(t=18\), то \(x^2+3x-18=0\), откуда \(x=3\) или \(x=-6\).

Если \(t=-10\), то \(x^2+3x+10=0\). Дискриминант равен \(9-40=-31<0\), действительных корней нет.

Ответ: а) \(y=-1,2\); б) \(x=-6,3\).