4) Решите уравнения: а) $\frac{5x-7}{x-3}=\frac{4x-3}{x}$; б) $\frac{1}{x-1}-\frac{x}{x+1}=\frac{x}{x^2-1}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4) Решите уравнения: а) $\frac{5x-7}{x-3}=\frac{4x-3}{x}$; б) $\frac{1}{x-1}-\frac{x}{x+1}=\frac{x}{x^2-1}$.$ Фото задания

Accepted Answer

а) Область допустимых значений: $x\ne3$, $x\ne0$.

Умножим обе части на $x(x-3)$:

$x(5x-7)=(x-3)(4x-3)$.

Раскроем скобки и перенесём всё в левую часть:

$5x^2-7x=4x^2-15x+9$,

$x^2+8x-9=0$,

$(x-1)(x+9)=0$. Получаем $x=1$ или $x=-9$; оба корня допустимы.

б) Область допустимых значений: $x\ne1$, $x\ne-1$. Приведём левую часть к общему знаменателю:

$\frac{x+1-x(x-1)}{x^2-1}=\frac{x}{x^2-1}$.

Знаменатели равны и не равны нулю, поэтому:

$x+1-x(x-1)=x$,

$-x^2+x+1=0$, или $x^2-x-1=0$.

По формуле корней квадратного уравнения $x=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$. Эти значения не равны $1$ или $-1$, значит, оба подходят.

Ответ: а) $x=1,\ -9$; б) $x=\frac{1+\sqrt5}{2},\ \frac{1-\sqrt5}{2}$.

4) Решите уравнения: а) \(\frac{5x-7}{x-3}=\frac{4x-3}{x}\); б) \(\frac{1}{x-1}-\frac{x}{x+1}=\frac{x}{x^2-1}\).