4. Решите задачу, выделив три этапа математического моделирования. Найдите три последовательных натуральных числа, если известно, что квадрат большего из них на 37 больше произведения двух других чисел.

Этапы математического моделирования:

1. Построение математической модели:

Пусть три последовательных натуральных числа будут \( n \), \( n+1 \) и \( n+2 \), где \( n \) — натуральное число (\( n \geq 1 \)).

По условию задачи, квадрат большего из них (\( (n+2)^2 \)) на 37 больше произведения двух других чисел (\( n(n+1) \)). Составим уравнение:

\( (n+2)^2 = n(n+1) + 37 \)

2. Работа с математической моделью:

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\( n^2 + 4n + 4 = n^2 + n + 37 \)

Вычтем \( n^2 \) из обеих частей уравнения:

\( 4n + 4 = n + 37 \)

Перенесем члены с \( n \) в одну сторону, а числовые значения — в другую:

\( 4n - n = 37 - 4 \)

\( 3n = 33 \)

Разделим обе части на 3:

\( n = \frac{33}{3} \)

\( n = 11 \)

3. Интерпретация результата:

Мы нашли, что \( n = 11 \). Значит, искомые последовательные натуральные числа:

Первое число: \( n = 11 \)

Второе число: \( n+1 = 11+1 = 12 \)

Третье число: \( n+2 = 11+2 = 13 \)

Проверим условие: квадрат большего числа \( 13^2 = 169 \). Произведение двух других чисел \( 11 \cdot 12 = 132 \). Разница составляет \( 169 - 132 = 37 \), что соответствует условию задачи.

Ответ: 11, 12, 13