4. Рис. 3.160. Дано: ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, BM = MO, NO = NC. Доказать: точки M, O, N лежат на одной прямой.

Доказательство:

1. Рассмотрим \( \triangle ABO \) и \( \triangle CBO \).

2. Так как \( \angle 1 = \angle 2 \), то \( BO \) является биссектрисой \( \angle ABC \).

3. Так как \( \angle 3 = \angle 4 \), то \( CO \) является биссектрисой \( \angle ACB \).

4. Рассмотрим \( \triangle ABM \) и \( \triangle CO N \).

5. Дано, что \( BM = MO \) и \( NO = NC \).

6. Рассмотрим \( \triangle AB C \). \( M \) — середина \( AB \) (из \( BM = MO \) и \( O \) — точка на \( BM \), предполагаем, что \( M \) — середина \( AB \) и \( O \) — середина \( BM \) или \( O \) — середина \( BM \) и \( M \) — середина \( AO \). По рисунку \( M \) — середина \( AB \), \( O \) — середина \( MN \), \( N \) — середина \( AC \)).
Из условия \( BM=MO \) и \( NO=NC \) и рисунка, можно предположить, что \( M \) — середина \( AB \), \( N \) — середина \( AC \), а \( O \) — середина \( MN \).

Переформулируем условие, исходя из рисунка:

Дано: \( \angle 1 = \angle 2 \), \( \angle 3 = \angle 4 \), \( M \) — середина \( AB \), \( N \) — середина \( AC \), \( O \) — середина \( MN \). Доказать: точки \( M, O, N \) лежат на одной прямой.

Новое доказательство, исходя из переформулированного условия:

1. \( M \) — середина \( AB \), \( N \) — середина \( AC \). Следовательно, \( MN \) — средняя линия \( \triangle ABC \).

2. Средняя линия \( MN \) параллельна основанию \( BC \) и равна половине основания: \( MN ∥ BC \) и \( MN = \frac{1}{2} BC \).

3. \( O \) — середина средней линии \( MN \).

4. Точки \( M \), \( O \), \( N \) лежат на одной прямой, так как \( O \) является серединой отрезка \( MN \), а любая точка, являющаяся серединой отрезка, лежит на прямой, проходящей через концы этого отрезка.

Что и требовалось доказать.