4*. Рис. 5.90. Дано: ∠ЕРМ = 90°, ∠MEP = 30°, ME = 10 см. а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка EP?

Решение:

Дано:

• \( \triangle EPM \) — прямоугольный треугольник, \( \angle EPM = 90^{\circ} \).
• \( \angle MEP = 30^{\circ} \).
• \( ME = 10 \) см.

Найти:

Длину отрезка \( EP \), заключенную между какими целыми числами.

Решение:

В прямоугольном треугольнике \( \triangle EPM \):

1. Угол \( \angle EPM = 90^{\circ} \) — прямой угол.

2. Гипотенузой является сторона, лежащая напротив прямого угла, то есть \( ME \). \( ME = 10 \) см.

3. Катет \( EP \) лежит напротив угла \( \angle EMP \).

4. Катет \( PM \) лежит напротив угла \( \angle MEP \).

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна \( 90^{\circ} \). Значит:

\( \angle EMP = 90^{\circ} - \angle MEP = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

Теперь используем тригонометрические соотношения:

Косинус угла \( \angle MEP \) равен отношению прилежащего катета \( EP \) к гипотенузе \( ME \):

\( \cos(\angle MEP) = \frac{EP}{ME} \)

\( \cos(30^{\circ}) = \frac{EP}{10} \)

Мы знаем, что \( \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{EP}{10} \)

Чтобы найти \( EP \), умножим обе стороны на 10:

\( EP = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( EP = 5 \sqrt{3} \) см.

Теперь нужно оценить значение \( 5 \sqrt{3} \).

Значение \( \sqrt{3} \) приблизительно равно \( 1.732 \).

\( EP \approx 5 \cdot 1.732 = 8.66 \) см.

Число \( 8.66 \) находится между целыми числами 8 и 9.

Ответ: Длина отрезка \( EP \) заключена между целыми числами 8 и 9.