3. Точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC. Треугольники ABC и ADC — равносторонние. Доказать: AB || CD.

Решение:

Поскольку треугольники ABC и ADC равносторонние, то все их стороны и углы равны:

AB = BC = AC

AD = DC = AC

∠BAC = ∠ABC = ∠BCA = 60°

∠DAC = ∠ADC = ∠DCA = 60°

Из равенства сторон следует:

AB = AC

AC = DC

Следовательно, AB = DC.

Рассмотрим углы ∠BAC и ∠ACD.

∠BAC = 60°.

∠ACD = ∠ACB + ∠BCD (это неверно, точки B и D в разных полуплоскостях, поэтому угол ACD = ∠ACB + ∠BCD если C находится между B и D, но здесь AC — общая сторона, поэтому ∠ACD = ∠ACB + ∠BCD или |∠ACB - ∠BCD|. Однако, если AC — сторона обоих треугольников, то ∠ACD = ∠ACB + ∠BCD неверно).

Правильно: Рассмотрим углы, образованные при пересечении секущей AC с прямыми AB и CD. У нас есть ∠BAC и ∠DCA.

∠BAC = 60° (как угол равностороннего треугольника ABC).

∠DCA = 60° (как угол равностороннего треугольника ADC).

Эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей AC.

Поскольку внутренние накрест лежащие углы равны (∠BAC = ∠DCA = 60°), то прямые AB и CD параллельны.

Доказано.