3. Точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC. Треугольники ABC и ADC — равносторонние. Доказать: AB || CD.

Решение:

Дано:

• Точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC.
• Треугольник ABC — равносторонний.
• Треугольник ADC — равносторонний.

Доказать: AB || CD.

Доказательство:

1. Поскольку треугольник ABC — равносторонний, все его стороны равны: \( AB = BC = AC \).
2. Также все углы равностороннего треугольника равны \( 60^{\circ} \): \( \angle BAC = \angle ABC = \angle BCA = 60^{\circ} \).
3. Поскольку треугольник ADC — равносторонний, все его стороны равны: \( AD = DC = AC \).
4. Также все углы равностороннего треугольника равны \( 60^{\circ} \): \( \angle DAC = \angle ADC = \angle DCA = 60^{\circ} \).
5. Рассмотрим углы \( \angle BAC \) и \( \angle ACD \).
6. \( \angle BAC = 60^{\circ} \) (угол равностороннего треугольника ABC).
7. \( \angle ACD = 60^{\circ} \) (угол равностороннего треугольника ADC).
8. Углы \( \angle BAC \) и \( \angle ACD \) являются накрест лежащими углами при прямых AB и CD и секущей AC.
9. Так как \( \angle BAC = \angle ACD = 60^{\circ} \) и они являются накрест лежащими, то прямые AB и CD параллельны.

Что и требовалось доказать.