4. С вертолета, находящегося на высоте h = 20 м, сбросили груз. Через какое время t он упадет на землю, если вертолет поднимается вертикально вверх со скоростью v = 10 м/с?

Решение:

Груз, будучи сброшенным с вертолета, первое мгновение обладает той же скоростью, что и вертолет, но направленной вверх. То есть начальная скорость груза \( v_0 = 10 \) м/с (направлена вверх). Высота, с которой сброшен груз, \( h = 20 \) м. Будем считать ось \( Oy \) направленной вертикально вверх.

Формула для перемещения при движении с начальной скоростью \( v_0 \) под действием ускорения свободного падения \( g \) (направленного вниз):

\( y = v_0t + \frac{1}{2}at^2 \)

В нашем случае \( a = -g \), так как ускорение свободного падения направлено противоположно начальной скорости. Перемещение \( y \) равно конечной высоте минус начальной высоте. Если земля — это \( y = 0 \), а вертолет на высоте \( h = 20 \) м, то перемещение \( y = 0 - 20 = -20 \) м.

Подставляем значения в формулу:

\( -20 = 10t + \frac{1}{2}(-10)t^2 \)

\( -20 = 10t - 5t^2 \)

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду: \( 5t^2 - 10t - 20 = 0 \)

Разделим все на 5: \( t^2 - 2t - 4 = 0 \)

Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-4) = 4 + 16 = 20 \)

Найдем корни уравнения:

\( t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{20}}{2} = \frac{2 + 2\sqrt{5}}{2} = 1 + \sqrt{5} \)

\( t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{20}}{2} = \frac{2 - 2\sqrt{5}}{2} = 1 - \sqrt{5} \)

Так как время не может быть отрицательным, выбираем положительный корень.

\( \sqrt{5} \approx 2.236 \)

\( t = 1 + 2.236 = 3.236 \) с

Ответ: груз упадет на землю примерно через 3.24 секунды.