4. Сформулируйте и докажите теорему о внешнем угле треугольника.

Теорема о внешнем угле треугольника

Формулировка: Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним.

Дано:

• \( \triangle ABC \)
• \( \angle BCD \) — внешний угол при вершине \( C \).

Доказать: \( \angle BCD = \angle A + \angle B \)

Доказательство:

1. Сумма углов треугольника равна 180°. \( \angle A + \angle B + \angle ACB = 180^{\circ} \)
2. Углы \( \angle ACB \) и \( \angle BCD \) являются смежными. Следовательно, их сумма равна 180°. \( \angle ACB + \angle BCD = 180^{\circ} \)
3. Из равенства \( \angle ACB + \angle BCD = 180^{\circ} \) следует, что \( \angle BCD = 180^{\circ} - \angle ACB \).
4. Подставим выражение для \( \angle ACB \) из первого уравнения во второе: \( \angle BCD = 180^{\circ} - (180^{\circ} - \angle A - \angle B) \).
5. Раскроем скобки: \( \angle BCD = 180^{\circ} - 180^{\circ} + \angle A + \angle B \).
6. Упростим: \( \angle BCD = \angle A + \angle B \).

Теорема доказана.