4. Сформулируйте основное свойство дроби. Запишите тождество, выражающее это свойство, и докажите его.

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, то значение дроби не изменится.

Тождество:

\[\frac{a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c},\quad b\ne0,\ c\ne0.\]

Доказательство:

Так как \(c\ne0\), можно заменить число \(1\) дробью \(\frac{c}{c}\):

\[\frac{a}{b}=\frac{a}{b}\cdot1=\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{c}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c}.\]

Следовательно, при умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число значение дроби не изменяется. Деление числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число является обратным преобразованием.

Ответ: \(\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}\), где \(b\ne0\), \(c\ne0\).