6. Докажите тождества \(\frac{-a}{b}=-\frac{a}{b}\) и \(\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}\) и сформулируйте соответствующие свойства дроби.

Пусть \(b\ne0\).

1. Доказательство тождества \(\displaystyle\frac{-a}{b}=-\frac{a}{b}\):

Умножим числитель и знаменатель дроби \(\displaystyle\frac{-a}{b}\) на \(-1\):

\[\frac{-a}{b}=\frac{(-a)\cdot(-1)}{b\cdot(-1)}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}.\]

Или непосредственно: деление отрицательного числа на положительное даёт число, противоположное результату деления положительного числителя на тот же знаменатель.

2. Доказательство тождества \(\displaystyle\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}\):

Умножим числитель и знаменатель дроби \(\displaystyle\frac{a}{-b}\) на \(-1\):

\[\frac{a}{-b}=\frac{a\cdot(-1)}{(-b)\cdot(-1)}=\frac{-a}{b}=-\frac{a}{b}.\]

Свойства дроби:

• знак «минус» можно вынести из числителя за дробную черту: \(\displaystyle\frac{-a}{b}=-\frac{a}{b}\);
• знак «минус» можно вынести из знаменателя за дробную черту: \(\displaystyle\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}\).

Таким образом, знак «минус» можно поставить перед всей дробью:

\[\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}.\]