4. sin x cos x + 2sin²x = cos² x.

Решение:

1. Перенесем все члены уравнения в одну сторону: \( \sin x \cos x + 2\sin^2 x - \cos^2 x = 0 \)
2. Разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \), предполагая, что \( \cos x ≠ 0 \) (если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = \pm 1 \), подставив в исходное уравнение, получим \( 0 + 2(1) = 0 \), что неверно, следовательно \( \cos x ≠ 0 \)).
3. Уравнение примет вид: \( \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{2\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \)
4. Упростим, используя \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \): \( \tan x + 2\tan^2 x - 1 = 0 \)
5. Сделаем замену переменной: пусть \( t = \tan x \). Тогда уравнение примет вид: \( 2t^2 + t - 1 = 0 \).
6. Решим квадратное уравнение относительно \( t \) с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 \).
7. \( t_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
8. \( t_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \)
9. Вернемся к замене \( t = \tan x \):
• \( \tan x = \frac{1}{2} \)
• \( \tan x = -1 \)
10. Решим уравнения:
• \( \tan x = \frac{1}{2} \) имеет решение \( x = \arctan \left( \frac{1}{2} \right) + \pi n \), где \( n ∈ ℤ \).
• \( \tan x = -1 \) имеет решение \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \) (или \( x = \frac{3\pi}{4} + \pi n \)), где \( n ∈ ℤ \).

Ответ: \( x = \arctan \left( \frac{1}{2} \right) + \pi n, x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n ∈ ℤ \).