4. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен \(\frac{12}{13}\). Диаметр описанной около него окружности равен 13. Найдите площадь прямоугольника.

Диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности: \(d=13\).

Пусть угол между стороной и диагональю равен \(\alpha\). Тогда сторона, лежащая напротив этого угла, равна:

\(b=d\sin\alpha=13\cdot\frac{12}{13}=12\).

Вторая сторона находится по теореме Пифагора:

\(a=\sqrt{d^2-b^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=5\).

Площадь прямоугольника:

\(S=ab=5\cdot12=60\).

Ответ: 60.