4. Сократить дробь: \( \frac{1-2b+b^2}{b^2-1} \)

Задание 4. Сокращение дроби

Для сокращения дроби \( \frac{1-2b+b^2}{b^2-1} \) нам нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

1. Числитель: \( 1 - 2b + b^2 \) — это квадрат разности, который раскладывается по формуле \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \). В нашем случае \( a=1 \) и \( b=b \).

\[ 1 - 2b + b^2 = (1-b)^2 = (1-b)(1-b) \]

2. Знаменатель: \( b^2 - 1 \) — это разность квадратов, которая раскладывается по формуле \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \). В нашем случае \( a=b \) и \( b=1 \).

\[ b^2 - 1 = (b-1)(b+1) \]

3. Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:

\[ \frac{(1-b)^2}{(b-1)(b+1)} = \frac{(1-b)(1-b)}{(b-1)(b+1)} \]

4. Заметим, что \( (1-b) = -(b-1) \). Поэтому мы можем переписать числитель:

\[ \frac{-(b-1)(1-b)}{(b-1)(b+1)} \]

5. Сокращаем \( (b-1) \) из числителя и знаменателя:

\[ -\frac{1-b}{b+1} = \frac{b-1}{b+1} \]

Ответ: \( \frac{b-1}{b+1} \).