4. Сократите дробь: а) \(\frac{\sqrt{12}+\sqrt{30}}{\sqrt6+\sqrt{15}}\); б) \(\frac{\sqrt{15}-5}{\sqrt{35}-\sqrt{21}}\).

а) Разложим подкоренные числа на множители: \(\sqrt{12}=2\sqrt3\), \(\sqrt{30}=\sqrt{2}\sqrt{15}\). Удобно заметить, что \(\sqrt{12}=\sqrt2\sqrt6\) и \(\sqrt{30}=\sqrt2\sqrt{15}\). Тогда числитель равен \(\sqrt2(\sqrt6+\sqrt{15})\), и дробь сокращается:

\[\frac{\sqrt{12}+\sqrt{30}}{\sqrt6+\sqrt{15}}=\sqrt2.\]

б) В числителе \(\sqrt{15}-5=\sqrt{15}-\sqrt{25}\), а в знаменателе \(\sqrt{35}-\sqrt{21}=\sqrt7(\sqrt5-\sqrt3)\). Упростим рационализацией либо численно? Представим числитель: \(\sqrt{15}-5=\sqrt3(\sqrt5-\frac5{\sqrt3})\), общего множителя с знаменателем нет. Проверим рационализацию знаменателя: \(\frac{\sqrt{15}-5}{\sqrt{35}-\sqrt{21}}\cdot\frac{\sqrt{35}+\sqrt{21}}{\sqrt{35}+\sqrt{21}}\). Знаменатель становится \(35-21=14\), числитель \((\sqrt{15}-5)(\sqrt{35}+\sqrt{21})\). Прямого сокращения радикалов нет; раскроем: \(\sqrt{525}+\sqrt{315}-5\sqrt{35}-5\sqrt{21}=5\sqrt{21}+3\sqrt{35}-5\sqrt{35}-5\sqrt{21}=-2\sqrt{35}\). Следовательно дробь равна \(-\frac{\sqrt{35}}7\).

Ответ: а) \(\sqrt2\); б) \(-\frac{\sqrt{35}}7\).