4) Сторона основания правильной треугольной пирамиды = 12 см, а боковое ребро = 7 см. Найдите S бок. поверхн. и высоту.

Задача 4:

1. Находим апофему (высоту боковой грани, h_a) по теореме Пифагора:
   \[ h_a = \sqrt{l^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{7^2 - (\frac{12}{2})^2} = \sqrt{49 - 6^2} = \sqrt{49 - 36} = \sqrt{13} \text{ см} \]
2. Находим площадь боковой поверхности:
   \[ S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \times h_a = \frac{1}{2} \times (3 \times 12 \text{ см}) \times \sqrt{13} \text{ см} = \frac{1}{2} \times 36 \text{ см} \times \sqrt{13} \text{ см} = 18\sqrt{13} \text{ см}^2 \]
3. Находим высоту пирамиды (H):
   \[ H = \sqrt{l^2 - R^2} \]
4. Находим радиус описанной окружности (R) для правильного треугольника:
   \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \text{ см} \]
5. Рассчитываем высоту пирамиды:
   \[ H = \sqrt{7^2 - (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{49 - (16 \times 3)} = \sqrt{49 - 48} = \sqrt{1} = 1 \text{ см} \]

Ответ: S бок. поверхн. = $$18\sqrt{13}$$ см², высота = 1 см