4. Сумма двух натуральных чисел равна 28, а сумма квадратов этих чисел равна 394. В ответе укажите найденные числа без пробелов в порядке возрастания.

Решение:

Пусть первое натуральное число равно \( x \), а второе — \( y \).

По условию задачи имеем систему уравнений:

1) \( x + y = 28 \)

2) \( x^2 + y^2 = 394 \)

Из первого уравнения выразим \( y \) через \( x \):

\( y = 28 - x \)

Подставим это выражение во второе уравнение:

\( x^2 + (28 - x)^2 = 394 \)

Раскроем скобки:

\( x^2 + (28^2 - 2 \cdot 28 \cdot x + x^2) = 394 \)

\( x^2 + (784 - 56x + x^2) = 394 \)

Приведём подобные члены:

\( 2x^2 - 56x + 784 = 394 \)

Перенесём \( 394 \) в левую часть:

\( 2x^2 - 56x + 784 - 394 = 0 \)

\( 2x^2 - 56x + 390 = 0 \)

Разделим всё уравнение на 2:

\( x^2 - 28x + 195 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 195 = 784 - 780 = 4 \)

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-28) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{28 + 2}{2} = \frac{30}{2} = 15 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-28) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{28 - 2}{2} = \frac{26}{2} = 13 \)

Найдём соответствующие значения \( y \) для каждого \( x \):

Если \( x = 15 \), то \( y = 28 - 15 = 13 \).

Если \( x = 13 \), то \( y = 28 - 13 = 15 \).

Пары чисел (15, 13) и (13, 15) являются решениями. Оба числа натуральные. Нам нужно указать найденные числа без пробелов в порядке возрастания.

Ответ: 1315