4. Тип 13 № 95 а) Решите уравнение cos 2x-3 cosx+2= 0. б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-4π; -5π/2].

Решение:

1. Преобразуем уравнение:

   Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \).

   Подставляем в уравнение:

   \[ (2\cos^2 x - 1) - 3\cos x + 2 = 0 \]

   Приводим подобные члены:

   \[ 2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0 \]
2. Решаем квадратное уравнение относительно \( \cos x \):

   Пусть \( t = \cos x \). Тогда уравнение принимает вид:

   \[ 2t^2 - 3t + 1 = 0 \]

   Решаем это квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \).

   Корни уравнения:

   \[ t_1 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]\[ t_2 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \]
3. Находим \( x \):

   Возвращаемся к замене \( t = \cos x \).

   Случай 1: \( \cos x = \frac{1}{2} \)
   Общее решение этого уравнения:

   \[ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
   • $$x_1 = rac{\pi}{3} + 2\pi n$$
   • $$x_2 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

   Случай 2: \( \cos x = 1 \)
   Общее решение этого уравнения:

   \[ x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
4. Выбираем корни, принадлежащие отрезку [-4π; -5π/2]:

   Отрезок [-4π; -5π/2] соответствует [-4π; -2.5π].

   Для $$x = rac{\pi}{3} + 2\pi n$$

   • При \( n = -1 \): $$x = rac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3} ≈ -5.236$$. Не попадает в отрезок.
   • При \( n = -2 \): $$x = rac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{11\pi}{3} ≈ -11.519$$. Не попадает в отрезок.

   Для $$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

   • При \( n = -1 \): $$x = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3} ≈ -7.33$$. Не попадает в отрезок.
   • При \( n = -2 \): $$x = -\frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{13\pi}{3} ≈ -13.61$$. Не попадает в отрезок.

   Для $$x = 2\pi k$$

   • При \( k = -1 \): $$x = -2\pi = -6.28$$. Не попадает в отрезок.
   • При \( k = -2 \): $$x = -4\pi = -12.56$$. Не попадает в отрезок.

   Перепроверим значения для n=-1 и n=-2 для первого случая, возможно, я ошибся с приближенными значениями

   • $$x = rac{\pi}{3} + 2π n$$. При \( n = -1 \), $$x = rac{\pi}{3} - 2π = -rac{5\pi}{3}$$. Отрезок: [-4π; -2.5π]. $$-\frac{5π}{3} ≈ -5.236$$. \(-4π ≈ -12.56 \), \(-2.5π ≈ -7.85 \). Значит, $$-\frac{5π}{3}$$ не попадает в отрезок.
   • $$x = -\frac{\pi}{3} + 2π n$$. При \( n = -1 \), $$x = -\frac{\pi}{3} - 2π = -\frac{7\pi}{3} ≈ -7.33$$. Попадает в отрезок [-12.56; -7.85].
   • При \( n = -2 \), $$x = -\frac{\pi}{3} - 4π = -\frac{13π}{3} ≈ -13.61$$. Не попадает в отрезок.
   • $$x = 2π k$$. При \( k = -2 \), $$x = -4π ≈ -12.56$$. Попадает в отрезок [-12.56; -7.85].
   • При \( k = -1 \), $$x = -2π = -6.28$$. Не попадает в отрезок.

   Обновляем найденные корни:

   • $$x = -\frac{7\pi}{3}$$
   • $$x = -4\pi$$

Ответ: ℱ = { -4π; -7π/3 }