4. Тип 16 № 1336 Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если угол ВМС равен 140°.

Решение:

1. Обозначения: Пусть BH и CK — высоты, проведенные к сторонам AB и AC соответственно. M — точка их пересечения.
2. Рассмотрим четырехугольник: Рассмотрим четырехугольник AMKB. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.
3. Прямые углы: Так как BH и CK — высоты, то ∠BKA = 90° и ∠BMA = 90°.
4. Сумма углов: В четырехугольнике AMKB: ∠BAC + ∠AMB + ∠MBK + ∠BKA = 360°.
5. Подстановка: ∠BAC + 90° + ∠MBK + 90° = 360°. ∠BAC + ∠MBK = 180°.
6. Связь с ∠ВМС: Угол ∠ВМС смежный с углом ∠AMK. Или, рассмотрим треугольник BMC. ∠MBC = 90° - ∠BCA. ∠MCB = 90° - ∠ABC.
7. В равнобедренном треугольнике: В равнобедренном треугольнике ABC (AB=AC), ∠ABC = ∠BCA. Пусть ∠ABC = ∠BCA = x.
8. Углы в треугольнике BMC: ∠BMC + ∠MBC + ∠MCB = 180°. 140° + (90° - x) + (90° - x) = 180°. 140° + 180° - 2x = 180°. 140° = 2x. x = 70°.
9. Углы треугольника ABC: ∠ABC = ∠BCA = 70°. ∠BAC = 180° - (70° + 70°) = 180° - 140° = 40°.

Ответ: 40°, 70°, 70°