6. Тип 16 № 11038 В прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе АС проведен серединный перпендикуляр. Точка пересечения этого перпендикуляра с катетом соединена с концом другого катета отрезком, который делит угол треугольника в отношении 4: 7 (меньшая часть при катете). Найдите этот угол.

Решение:

1. Обозначения: Пусть ABC — прямоугольный треугольник (∠B = 90°). AC — гипотенуза. Пусть M — середина AC. Проведем серединный перпендикуляр к AC, который пересекает катет BC в точке D.
2. Свойство серединного перпендикуляра: Все точки серединного перпендикуляра равноудалены от концов отрезка. Следовательно, AD = CD.
3. Равнобедренный треугольник: Треугольник ADC является равнобедренным (AD = CD).
4. Углы равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике ADC, ∠DAC = ∠DCA.
5. Углы треугольника ABC: Так как ∠B = 90°, то ∠BAC + ∠BCA = 90°.
6. Соотношение углов: ∠DCA — это ∠BCA. Пусть ∠BAC = α. Тогда ∠BCA = 90° - α. Следовательно, ∠DAC = ∠DCA = 90° - α.
7. Угол ADC: Угол ∠ADC — внешний угол треугольника ABD. ∠ADC = ∠BAC + ∠ABD. Так как ∠ABD = 90°, то ∠ADC = α + 90°.
8. Проверка: В равнобедренном треугольнике ADC: ∠DAC + ∠DCA + ∠ADC = 180°. (90° - α) + (90° - α) + (α + 90°) = 180°. 270° - α = 180°. α = 90°. Это противоречит условию, что ABC — треугольник.
9. Пересмотр: Ошибка в пункте 4. AD=CD, поэтому ∠DAC = ∠DCA. Обозначим ∠BAC = α. Тогда ∠BCA = 90 - α. Значит, ∠DAC = ∠DCA = 90 - α.
10. Точка D на BC: Точка D лежит на катете BC.
11. Рассмотрим треугольник ABD: ∠BAD = ∠BAC - ∠DAC = α - (90 - α) = 2α - 90°.
12. Угол ADB: В треугольнике ABD: ∠ADB = 180° - ∠ABD - ∠BAD = 180° - 90° - (2α - 90°) = 90° - 2α + 90° = 180° - 2α.
13. Связь углов: ∠ADC = 180° - ∠ADB = 180° - (180° - 2α) = 2α.
14. Углы в треугольнике ADC: ∠DAC = ∠DCA = 90 - α. ∠ADC = 2α. Сумма углов: (90 - α) + (90 - α) + 2α = 180° - 2α + 2α = 180°. Это верно.
15. Отношение углов: Отрезок AD делит угол BAC (α) в отношении 4:7. Меньшая часть при катете.
16. Составление уравнения: Угол BAC = α. Угол DAC = 90 - α. Отношение углов BAD : DAC = 4:7.
17. Угол BAD = 2α - 90°.
18. 2α - 90° : 90° - α = 4 : 7
19. 7(2α - 90°) = 4(90° - α)
20. 14α - 630° = 360° - 4α
21. 18α = 990°
22. α = 990° / 18 = 55°
23. Проверка: ∠BAC = 55°. ∠BCA = 90° - 55° = 35°. ∠DAC = 35°. ∠BAD = 55° - 35° = 20°. Отношение 20° : 35° = 4 : 7. Меньшая часть (20°) при катете (AB).
24. Искомый угол: Треугольник ABC. Угол A.

Ответ: 55°