4. Точка А лежит на окружности с центром в точке О. АВ и АС - равные хорды окружности, AD - ее диаметр. Докажите, что DA - биссектриса угла BDC.

Решение:

Дано: Окружность с центром O. AB = AC (равные хорды). AD — диаметр.

Доказать: DA — биссектриса \( ∠ BDC \).

Доказательство:

1. Так как хорды AB и AC равны, то и дуги, на которые они опираются, равны: дуга AB = дуга AC.
2. Углы \( ∠ ADB \) и \( ∠ ADC \) являются вписанными углами, опирающимися на диаметр AD. Следовательно, \( ∠ ADB = 90^\circ \) и \( ∠ ADC = 90^\circ \).
3. Рассмотрим треугольники ABD и ACD.
• AD — общий катет.
• AB = AC (по условию).
• \( ∠ ADB = ∠ ADC = 90^\circ \).
4. По двум катетам (или по гипотенузе и катету), треугольники ABD и ACD равны.
5. Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны: \( ∠ BDA = ∠ CDA \).
6. Поскольку \( ∠ BDA = ∠ CDA \), то отрезок AD делит угол BDC пополам.
7. Следовательно, DA является биссектрисой угла BDC.

Что и требовалось доказать.